3. Найдите производную ln(x^2 + 1)

Задание 3. Производная от ln(x² + 1)

Для нахождения производной этой функции мы будем использовать правило цепочки, так как у нас есть логарифм от выражения, содержащего x.

Правила, которые нам понадобятся:

• Производная от ln(u) равна 1/u * u', где u' — производная от внутренней функции.
• Производная от (x² + 1):
• Производная от x² равна 2x.
• Производная от 1 (константа) равна 0.
• Таким образом, производная от (x² + 1) равна 2x.

Применяем правила:

1. Внешняя функция — ln(u), где u = (x² + 1). Ее производная — 1/(x² + 1).
2. Внутренняя функция — (x² + 1). Ее производная — 2x.
3. По правилу цепочки, умножаем производную внешней функции на производную внутренней: \[ \frac{d}{dx}(\ln(x^2 + 1)) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) \]

Ответ: \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)