3. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей для треугольника со сторонами 20 м, 15 м и 7 м.

Решение:

Дан треугольник со сторонами \( a = 20 \) м, \( b = 15 \) м, \( c = 7 \) м.

1. Радиус описанной окружности (R):

Формула для радиуса описанной окружности: \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( S \) — площадь треугольника.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где \( p \) — полупериметр.

\[ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+15+7}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ м} \]\[ S = \sqrt{21(21-20)(21-15)(21-7)} = \sqrt{21 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 14} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 \text{ м}^2 \]

Теперь найдем радиус описанной окружности:

\[ R = \frac{20 \cdot 15 \cdot 7}{4 \cdot 42} = \frac{2100}{168} = 12.5 \text{ м} \]

2. Радиус вписанной окружности (r):

Формула для радиуса вписанной окружности: \( r = \frac{S}{p} \).

\[ r = \frac{42}{21} = 2 \text{ м} \]

Ответ: Радиус вписанной окружности \( r = 2 \) м, радиус описанной окружности \( R = 12.5 \) м.