4. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см, а угол между ними оставляет 30°. Найдите длину большей диагонали.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма \( a = 5 \) см и \( b = 3 \) см. Угол между ними \( \alpha = 30^{\circ} \).

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \). Значит, второй угол \( \beta = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

Диагонали параллелограмма можно найти по теореме косинусов. Большая диагональ будет лежать напротив большего угла.

Пусть \( d_1 \) — большая диагональ, \( d_2 \) — меньшая.

Для большей диагонали \( d_1 \), используем угол \( \beta = 150^{\circ} \):

\[ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta) \]\[ d_1^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos(150^{\circ}) \]\[ d_1^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \]\[ d_1^2 = 34 + 15\sqrt{3} \]\[ d_1 = \sqrt{34 + 15\sqrt{3}} \text{ см} \]

Для меньшей диагонали \( d_2 \), используем угол \( \alpha = 30^{\circ} \):

\[ d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \]\[ d_2^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos(30^{\circ}) \]\[ d_2^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) \]\[ d_2^2 = 34 - 15\sqrt{3} \]\[ d_2 = \sqrt{34 - 15\sqrt{3}} \text{ см} \]

Большей диагональю является \( d_1 \).

Ответ: Длина большей диагонали равна \( \sqrt{34 + 15\sqrt{3}} \) см.