5. В треугольнике МКР МР = 7√2 см, КР = 7√3 см, ∠ К = 45°. Найдите величину угла М.

Решение:

В треугольнике МКР даны:

• сторона \( m = КР = 7\sqrt{3} \) см
• сторона \( p = МК \) (неизвестна)
• сторона \( k = МР = 7\sqrt{2} \) см
• угол \( \angle K = 45^{\circ} \)

Чтобы найти угол \( \angle M \), воспользуемся теоремой синусов: \( \frac{m}{\sin M} = \frac{k}{\sin K} \).

Нам неизвестна сторона \( p = МК \), поэтому мы не можем напрямую найти \( \sin M \).

Сначала найдем сторону \( МК \) через теорему косинусов, если бы знали угол \( \angle P \), или через другие соотношения. Но у нас есть две стороны и один угол. Можно найти угол \( \angle M \) или \( \angle P \), если мы найдем третью сторону.

Давайте попробуем использовать теорему косинусов для нахождения стороны \( МК = p \), если бы мы знали \( \angle P \). Или найдем \( \angle P \) из соотношения сторон.

По теореме синусов:

\[ \frac{МР}{\sin K} = \frac{КР}{\sin M} \]\[ \frac{7\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sin M} \]

Напомним, что \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\[ \frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sin M} \]\[ 7\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sin M} \]\[ 14 = \frac{7\sqrt{3}}{\sin M} \]

Выразим \( \sin M \):

\[ \sin M = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Угол \( M \) может быть равен \( 60^{\circ} \) или \( 120^{\circ} \), так как \( \sin 60^{\circ} = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Чтобы определить, какой из углов является правильным, проверим сумму углов треугольника. Если \( \angle M = 60^{\circ} \), то \( \angle P = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ} \). Если \( \angle M = 120^{\circ} \), то \( \angle P = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 120^{\circ} = 15^{\circ} \).

Теперь проверим соотношение сторон. По теореме синусов, чем больше угол, тем больше противолежащая сторона.

Сравним стороны: \( МР = 7\sqrt{2} \approx 7 \times 1.414 = 9.898 \) и \( КР = 7\sqrt{3} \approx 7 \times 1.732 = 12.124 \).

Так как \( КР > МР \) (12.124 > 9.898), то угол \( \angle M \) должен быть больше угла \( \angle K \) (45°).

Значение \( 60^{\circ} \) больше \( 45^{\circ} \), а \( 120^{\circ} \) также больше \( 45^{\circ} \). Нам нужно уточнить, может ли \( \angle M \) быть тупым.

Проверим, может ли \( \angle M = 120^{\circ} \). Тогда \( \angle P = 15^{\circ} \). В этом случае \( \angle K = 45^{\circ} \).

Проверим соотношение сторон: \( МР \) противолежит \( \angle K \), \( КР \) противолежит \( \angle M \).

Угол \( \angle M = 120^{\circ} \) больший, чем \( \angle K = 45^{\circ} \). Значит, противолежащая сторона \( КР \) должна быть больше \( МР \). Действительно, \( 7\sqrt{3} > 7\sqrt{2} \).

Рассмотрим случай \( \angle M = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle P = 75^{\circ} \). Угол \( \angle P \) самый большой, значит, противолежащая сторона \( МК \) должна быть самой большой. Найдем \( МК \) по теореме косинусов:

\[ МК^2 = МР^2 + КР^2 - 2 \cdot МР \cdot КР \cos K \]\[ МК^2 = (7\sqrt{2})^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 7\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{3} \cos 45^{\circ} \]\[ МК^2 = 49 \cdot 2 + 49 \cdot 3 - 2 \cdot 49 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]\[ МК^2 = 98 + 147 - 49 \sqrt{12} \]\[ МК^2 = 245 - 49 \cdot 2\sqrt{3} \]\[ МК^2 = 245 - 98\sqrt{3} \approx 245 - 98 \times 1.732 = 245 - 169.736 = 75.264 \]\[ МК \approx \sqrt{75.264} \approx 8.675 \]

Если \( \angle M = 60^{\circ} \), \( \angle K = 45^{\circ} \), \( \angle P = 75^{\circ} \). Соответствующие стороны: \( КР = 7\sqrt{3} \approx 12.124 \) (противолежит \( \angle M \)), \( МР = 7\sqrt{2} \approx 9.898 \) (противолежит \( \angle K \)), \( МК \approx 8.675 \) (противолежит \( \angle P \)).

В этом случае \( КР \) самая большая сторона, что соответствует наибольшему углу \( \angle M \) (60°). Но \( \angle P = 75^{\circ} \) должен быть самым большим, а \( МК \) самой большой стороной. Это противоречие.

Значит, \( \angle M = 120^{\circ} \) и \( \angle P = 15^{\circ} \).

Стороны: \( КР = 7\sqrt{3} \approx 12.124 \) (противолежит \( \angle M = 120^{\circ} \)), \( МР = 7\sqrt{2} \approx 9.898 \) (противолежит \( \angle K = 45^{\circ} \)).

Проверим \( \angle P = 15^{\circ} \) с помощью теоремы синусов:

\[ \frac{МК}{\sin P} = \frac{МР}{\sin K} \]\[ МК = \frac{МР \sin P}{\sin K} = \frac{7\sqrt{2} \sin 15^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \]

\( \sin 15^{\circ} = \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).

\[ МК = \frac{7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{7(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \]

\( МК \approx \frac{7(2.449 - 1.414)}{2} = \frac{7(1.035)}{2} = \frac{7.245}{2} = 3.6225 \).

Теперь сравним стороны: \( КР \approx 12.124 \), \( МР \approx 9.898 \), \( МК \approx 3.6225 \). Углы: \( \angle M = 120^{\circ} \), \( \angle K = 45^{\circ} \), \( \angle P = 15^{\circ} \).

Наибольший угол \( \angle M = 120^{\circ} \) противолежит наибольшей стороне \( КР \). Наименьший угол \( \angle P = 15^{\circ} \) противолежит наименьшей стороне \( МК \). Средний угол \( \angle K = 45^{\circ} \) противолежит средней стороне \( МР \). Всё верно.

Ответ: Величина угла М равна \( 120^{\circ} \).