3. Найдите решение следующей системы методом Гаусса: 2x + y − z = 4; x − 2y + 3z = 6; 3x + 2y + 2z = 9.

Переставим первую и вторую строки, затем исключим \(x\):

\[\begin{bmatrix}1&-2&3&|&6\\2&1&-1&|&4\\3&2&2&|&9\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1,\;R_3-3R_1}\begin{bmatrix}1&-2&3&|&6\\0&5&-7&|&-8\\0&8&-7&|&-9\end{bmatrix}\]

Чтобы исключить \(y\), выполним \(5R_3-8R_2\):

\[\begin{bmatrix}1&-2&3&|&6\\0&5&-7&|&-8\\0&0&21&|&19\end{bmatrix}\]

Обратная подстановка: \(z=\frac{19}{21}\); из второй строки \(y=-\frac{1}{3}\); из первой строки \(x=\frac{55}{21}\).

Ответ: \(\left(x,y,z\right)=\left(\frac{55}{21},-\frac{1}{3},\frac{19}{21}\right)\).