4. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса: x + 2y + z = 8; 2x + y − z = 1; 3x + 2y − 2z = 11.

Вычтем из третьего уравнения первое, а из второго — удвоенное первое:

\[\begin{bmatrix}1&2&1&|&8\\2&1&-1&|&1\\3&2&-2&|&11\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1,\;R_3-3R_1}\begin{bmatrix}1&2&1&|&8\\0&-3&-3&|&-15\\0&-4&-5&|&-13\end{bmatrix}\]

Выполним \(3R_3-4R_2\), получая последнюю строку \([0,0,-3|21]\). Поэтому ступенчатая система имеет вид:

\[\begin{bmatrix}1&2&1&|&8\\0&-3&-3&|&-15\\0&0&-3&|&21\end{bmatrix}\]

Обратная подстановка: \(z=-7\); из второй строки \(y=12\); из первой строки \(x=-9\).

Ответ: \(\left(x,y,z\right)=(-9,12,-7)\).