3. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а) \(b_1=\frac14,\ q=-\frac12\); б) \(\frac32;\ 1;\ \frac23;\ \frac49;\ldots\); в) \(b_3=\frac23,\ b_6=\frac{2}{81}\).

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(S=\frac{b_1}{1-q}\), если \(|q|<1\).

1. а) \(S=\frac{\frac14}{1-(-\frac12)}=\frac{\frac14}{\frac32}=\frac16\).
2. б) Знаменатель прогрессии \(q=\frac{1}{\frac32}=\frac23\). Тогда \(S=\frac{\frac32}{1-\frac23}=\frac92\).
3. в) Из соотношения \(b_6=b_3q^3\) получаем \(q^3=\frac{b_6}{b_3}=\frac{1}{27}\), значит, \(q=\frac13\). Далее \(b_1=\frac{b_3}{q^2}=6\), поэтому \(S=\frac{6}{1-\frac13}=9\).

Ответ: а) \(\frac16\); б) \(\frac92\); в) \(9\).