3. Найдите третью сторону треугольника, если известно, что две другие равны 6 и 7, а площадь равна 4√5.

Обозначим угол между сторонами 6 и 7 через \(C\), а третью сторону — через \(c\).

По формуле площади через две стороны и угол между ними: \(\frac12\cdot6\cdot7\sin C=4\sqrt5\), откуда \(\sin C=\frac{4\sqrt5}{21}\).

Угол может быть острым или тупым, поэтому \(\cos C=\pm\sqrt{1-\sin^2 C}=\pm\frac{11}{21}\).

По теореме косинусов \(c^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos C=85-84\cos C\). При \(\cos C=\frac{11}{21}\) получаем \(c^2=41\), а при \(\cos C=-\frac{11}{21}\) — \(c^2=129\). Оба значения удовлетворяют неравенствам треугольника.

Ответ: \(\sqrt{41}\) или \(\sqrt{129}\).