4. Две стороны треугольника равны соответственно 5 и 8, а его площадь равна 12. Определите длину третьей стороны.

Обозначим угол между сторонами 5 и 8 через \(C\), а третью сторону — через \(c\).

Из формулы площади \(\frac12\cdot5\cdot8\sin C=12\) следует, что \(\sin C=\frac35\). Поэтому возможны два значения косинуса: \(\cos C=\pm\frac45\).

По теореме косинусов \(c^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos C=89-80\cos C\). При \(\cos C=\frac45\) получаем \(c=5\); при \(\cos C=-\frac45\) получаем \(c=\sqrt{153}=3\sqrt{17}\). Оба значения дают возможный треугольник.

Ответ: 5 или \(3\sqrt{17}\).