3. Найдите угол между прямыми AB и CD, если A(3; -1; 3), B(3; -2; 2), C(3; 2; 3), Д(1; 2; 2).

Направляющие векторы прямых:

\(\overrightarrow{AB}=(3-3;-2-(-1);2-3)=(0;-1;-1)\), \(\overrightarrow{CD}=(1-3;2-2;2-3)=(-2;0;-1)\).

Скалярное произведение равно \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0\cdot(-2)+(-1)\cdot0+(-1)\cdot(-1)=1\). Длины векторов: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt2\), \(|\overrightarrow{CD}|=\sqrt5\).

Для угла между прямыми берём меньший угол, поэтому \(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{CD}|}=\frac{1}{\sqrt{10}}\).

Ответ: \(\varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}\approx71.6^\circ\).