4. Даны точки A(0; 1; 2), B(√2; 1; 2), C(√2; 2; 1), Д(0; 2; 1). Докажите, что ABCД — квадрат.

Найдём векторы последовательных сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(\sqrt2;0;0)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;1;-1)\), \(\overrightarrow{CД}=(-\sqrt2;0;0)\), \(\overrightarrow{ДA}=(0;-1;1)\).

Длины всех сторон равны:

\(|AB|=\sqrt2\), \(|BC|=\sqrt{1+1}=\sqrt2\), \(|CД|=\sqrt2\), \(|ДA|=\sqrt{1+1}=\sqrt2\).

Смежные стороны перпендикулярны, поскольку \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\sqrt2\cdot0+0\cdot1+0\cdot(-1)=0\).

Четырёхугольник ABCД — параллелограмм: \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CД}\) и \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{ДA}\). Он имеет равные стороны и прямой угол, следовательно, является квадратом.

Что и требовалось доказать.