3. Найдите все решения уравнения (sin x + cos x)² = 1 + sin x cos x, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения: \( (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \)
2. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \( 1 + 2 \sin x \cos x \)
3. Теперь уравнение имеет вид: \( 1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin x \cos x \)
4. Вычтем \( 1 \) из обеих частей: \( 2 \sin x \cos x = \sin x \cos x \)
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2 \sin x \cos x - \sin x \cos x = 0 \) \( \Rightarrow \sin x \cos x = 0 \)
6. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: \( \sin x = 0 \) или \( \cos x = 0 \).
7. Решения уравнения \( \sin x = 0 \) на отрезке \( [0; 2\pi] \) — это \( x = 0, \pi, 2\pi \).
8. Решения уравнения \( \cos x = 0 \) на отрезке \( [0; 2\pi] \) — это \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \).
9. Объединим все найденные решения: \( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi \).

Ответ: \( \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\} \).