5. Является ли функция F(x) = x³ - 3x + 1 первообразной функции f(x) = 3(x² - 1)?

Решение:

Чтобы проверить, является ли функция \( F(x) = x^3 - 3x + 1 \) первообразной для функции \( f(x) = 3(x^2 - 1) \), нужно найти производную от \( F(x) \) и сравнить её с \( f(x) \).

Найдем производную \( F'(x) \):

\( F'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) \)

Используя правила дифференцирования:

\( F'(x) = 3x^{3-1} - 3x^{1-1} + 0 \)

\( F'(x) = 3x^2 - 3 \cdot 1 \)

\( F'(x) = 3x^2 - 3 \)

Теперь преобразуем функцию \( f(x) \) из условия:

\( f(x) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3 \)

Сравнивая \( F'(x) \) и \( f(x) \), видим, что:

\( F'(x) = 3x^2 - 3 \)

\( f(x) = 3x^2 - 3 \)

Поскольку \( F'(x) = f(x) \), то функция \( F(x) \) действительно является первообразной для функции \( f(x) \).

Ответ: Да, является.