4. Функция y = f(x) задана своим графиком (рис. 3). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях x -2,5 ≤ f(x) ≤ 1,5; в) промежутки, на которых f'(x) > 0, f'(x) < 0; г) точки экстремума функции; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

Анализируя график функции (рис. 3), определим:

а) Область определения функции:

График существует для всех значений \( x \) от -3 до 3 (включительно). Левая граница (-3) отмечена закрашенным кружком, а правая граница (3) — закрашенным кружком.

Ответ: \( D(f) = [-3; 3] \)

б) При каких значениях \( x \) \( -2,5 \le f(x) \le 1,5 \):

Найдём интервалы \( x \), для которых значения \( y \) находятся между -2,5 и 1,5. На графике это соответствует участкам, где кривая лежит между горизонтальными линиями \( y = -2,5 \) и \( y = 1,5 \).

Примерно:

• от \( x = -3 \) до \( x = -1 \) (приблизительно) \( f(x) \) находится в указанном диапазоне.
• от \( x = 0 \) до \( x = 1 \) \( f(x) \) находится в указанном диапазоне.
• от \( x = 2 \) до \( x = 3 \) \( f(x) \) находится в указанном диапазоне.

Точные значения требуют более детального анализа графика или аналитической записи функции.

Ответ: Приблизительно \( x \in [-3; -1] \cup [0; 1] \cup [2; 3] \)

в) Промежутки, на которых \( f'(x) > 0 \) и \( f'(x) < 0 \):

Производная \( f'(x) \) положительна, когда функция возрастает, и отрицательна, когда функция убывает.

• \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает):
На графике это соответствует участкам, где кривая идёт вверх слева направо. Примерно: \( x \in [-3; -1,5] \) и \( x \in [1; 2] \).
• \( f'(x) < 0 \) (функция убывает):
На графике это соответствует участкам, где кривая идёт вниз слева направо. Примерно: \( x \in [-1,5; 1] \) и \( x \in [2; 3] \).

Ответ: \( f'(x) > 0 \) на \( [-3; -1,5] \cup [1; 2] \); \( f'(x) < 0 \) на \( [-1,5; 1] \cup [2; 3] \) (приблизительно).

г) Точки экстремума функции:

Точки экстремума — это точки, где производная равна нулю или не существует, и где происходит смена монотонности.

• Точка максимума: \( x \approx -1,5 \) (значение \( f(x) \) примерно 1,5).
• Точка минимума: \( x = 1 \) (значение \( f(x) \) примерно -2,5).
• Точка максимума: \( x = 2 \) (значение \( f(x) \) примерно 1,5).

Ответ: Точки локального максимума примерно при \( x = -1,5 \) и \( x = 2 \); точка локального минимума при \( x = 1 \).

д) Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [ -3; 3 ] достигаются в критических точках (экстремумы) или на концах отрезка.

• На концах отрезка: \( f(-3) \approx -1 \) и \( f(3) \approx 1 \).
• В точках экстремума:
\( f(-1,5) \approx 1,5 \) (максимум) \( f(1) \approx -2,5 \) (минимум) \( f(2) \approx 1,5 \) (максимум)

Сравнивая эти значения, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение функции \( f_{max} \approx 1,5 \); Наименьшее значение функции \( f_{min} \approx -2,5 \).