3. Найдите все решения уравнения $$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin x \cos x,$$принадлежащие отрезку [0; 2π].

Решение:

Раскроем квадрат суммы в левой части уравнения:

\( (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x \)

Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) и формулу двойного угла \( 2\sin x \cos x = \sin 2x \), получим:

\( 1 + \sin 2x = 1 + \sin x \cos x \)

Вычтем 1 из обеих частей:

\( \sin 2x = \sin x \cos x \)

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для \( \sin 2x \), чтобы получить:

\( 2\sin x \cos x = \sin x \cos x \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( 2\sin x \cos x - \sin x \cos x = 0 \)

\( \sin x \cos x = 0 \)

Это уравнение равносильно двум случаям:

1. \( \sin x = 0 \)
Из этого следует \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.
2. \( \cos x = 0 \)
Из этого следует \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Теперь найдём решения, принадлежащие отрезку \( [0; 2\pi] \):

• Для \( x = \pi k \):
\( k=0 \Rightarrow x = 0 \) \( k=1 \Rightarrow x = \pi \) \( k=2 \Rightarrow x = 2\pi \)
• Для \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \):
\( n=0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} \) \( n=1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \)

Объединяя все найденные решения, получаем:

\( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi \)

Ответ: \( 0; \frac{\pi}{2}; \pi; \frac{3\pi}{2}; 2\pi \)