3. Найдите все значения m, при которых корень уравнения 2mx − x = 2m² − 2 является целым числом.

Обозначим целый корень через k. Тогда уравнение равносильно 2m² − 2km + k − 2 = 0. Решая его относительно m, получаем:

m = (k ± √(k² − 2k + 4)) / 2, где k — любое целое число.

Это задаёт все значения m по буквальному условию, в котором не сказано, что m должно быть целым.

Если предполагается, что m — целое число, перепишем выражение для корня:

x = (2m² − 2)/(2m − 1) = m + 1/2 − 3/[2(2m − 1)].

Чтобы x было целым, число 3/(2m − 1) должно быть нечётным целым. Поэтому 2m − 1 ∈ {−3, −1, 1, 3}, откуда m ∈ {−1, 0, 1, 2}. При этих значениях корни соответственно равны 0, 2, 0 и 2.

Ответ: при произвольном действительном m — m = (k ± √(k² − 2k + 4))/2 для любого k ∈ ℤ; если m предполагается целым, то m = −1, 0, 1, 2.