4. Докажите, что, если целое число n при делении на 8 даёт остаток 2, то число n² + 4n − 12 делится на 64.

Так как при делении n на 8 получается остаток 2, представим n в виде n = 8k + 2, где k — целое число.

Подставим это выражение:

n² + 4n − 12 = (8k + 2)² + 4(8k + 2) − 12.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

64k² + 32k + 4 + 32k + 8 − 12 = 64k² + 64k = 64k(k + 1).

Поскольку k(k + 1) — целое число, исходное выражение делится на 64.

Что и требовалось доказать.