5. Докажите, что при любом целом a разность a⁶ − a² делится на 30.

Докажем делимость на 2, 3 и 5.

1. На 2: если a чётное, то a² чётно и разность чётна. Если a нечётное, то a⁴ − 1 чётно, поэтому a⁶ − a² = a²(a⁴ − 1) чётно.
2. На 3: если a делится на 3, делится на 3 и a². Если не делится, то a² ≡ 1 (по модулю 3), поэтому a⁴ ≡ 1 (по модулю 3), и a⁶ − a² = a²(a⁴ − 1) делится на 3.
3. На 5: если a делится на 5, то делится на 5 и a². В противном случае по малой теореме Ферма a⁴ ≡ 1 (по модулю 5), значит a⁶ − a² = a²(a⁴ − 1) делится на 5.

Числа 2, 3 и 5 попарно взаимно просты. Значит, разность делится на их произведение 30.

Что и требовалось доказать.