3. Найдите значение выражения $$ \frac{1}{2^{-19}} \cdot \frac{1}{216} $$

Краткое пояснение:

Для решения данного примера нужно вспомнить свойства степеней и уметь работать с дробями.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем первую дробь, используя свойство отрицательной степени: \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \). Таким образом, \( \frac{1}{2^{-19}} = 2^{19} \).
2. Шаг 2: Второе число 216 представим в виде степени. \( 216 = 6^3 \).
3. Шаг 3: Теперь выражение выглядит так: \( 2^{19} \cdot \frac{1}{6^3} \).
4. Шаг 4: Запишем 6 как \( 2 · 3 \), тогда \( 6^3 = (2 · 3)^3 = 2^3 · 3^3 \).
5. Шаг 5: Подставляем обратно в выражение: \( 2^{19} \cdot \frac{1}{2^3 · 3^3} = \frac{2^{19}}{2^3 · 3^3} \).
6. Шаг 6: Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). \( \frac{2^{19}}{2^3} = 2^{19-3} = 2^{16} \).
7. Шаг 7: Итоговое выражение: \( \frac{2^{16}}{3^3} \).

Ответ: \( \frac{2^{16}}{27} \)