3. Найдите значение выражения \( \sqrt[3]{\frac{81t^6}{z^4}} \) при \( t = 6 \) и \( z = 9 \).

Решение:

Подставим значения \( t = 6 \) и \( z = 9 \) в выражение.

1. Сначала упростим выражение под корнем:

\[ \sqrt[3]{\frac{81t^6}{z^4}} = \sqrt[3]{\frac{3^4 \cdot (t^2)^3}{z^4}} \]

Подставляем \( t=6 \) и \( z=9 \):

\[ \sqrt[3]{\frac{81 \cdot 6^6}{9^4}} = \sqrt[3]{\frac{3^4 \cdot (6^2)^3}{(3^2)^4}} = \sqrt[3]{\frac{3^4 \cdot 36^3}{3^8}} = \sqrt[3]{\frac{36^3}{3^4}} \]

Теперь вынесем \( 36 \) из-под кубического корня:

\[ \frac{36}{\sqrt[3]{3^4}} = \frac{36}{3 \sqrt[3]{3}} = \frac{12}{\sqrt[3]{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} \):

\[ \frac{12 \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}} = \frac{12 \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{12 \sqrt[3]{9}}{3} = 4 \sqrt[3]{9} \]

Ответ: \( 4\sqrt[3]{9} \)