3. Найти длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 6 см, а прилежащий угол равен 30 градусов.

1. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Для начала найдем гипотенузу треугольника, зная катет и прилежащий угол.

2. Пусть катет (a = 6) см, а прилежащий угол \(\alpha = 30^\circ\). Гипотенуза (c) может быть найдена как (cos\(\alpha\) = \(\frac{a}{c}\)), то есть (c = \(\frac{a}\){cos\(\alpha\)}).

3. Подставим значения: (c = \(\frac{6}\){cos\(30^\circ\)} = \(\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) = \(\frac{12}{\sqrt{3}}\) = 4\(\sqrt{3}\)) см. Это гипотенуза треугольника.

4. Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине длины гипотенузы: \(R = \frac{c}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) см.

5. Найдем длину окружности \(C = 2\pi R\): (C = 2\(\pi\) \(2\sqrt{3}\) = 4\(\pi\)\(\sqrt{3}\)) см.

Ответ: Длина окружности равна \(4\pi\sqrt{3}\) см.