№ 3. Не выполняя построения графиков, определите, пересекаются ли парабола y = x² − 3x + 1 и прямая y = 5x − 4. Если пересекаются, найдите координаты точек пересечения.

В точках пересечения значения функций равны, поэтому приравняем правые части:

\(x^2-3x+1=5x-4\).

Перенесём всё в левую часть: \(x^2-8x+5=0\).

Дискриминант \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot5=44>0\), значит, уравнение имеет два корня, и графики пересекаются в двух точках:

\(x=\frac{8\pm\sqrt{44}}{2}=4\pm\sqrt{11}\).

Найдём соответствующие значения \(y\) по уравнению прямой \(y=5x-4\): при \(x=4\pm\sqrt{11}\) получаем \(y=16\pm5\sqrt{11}\).

Ответ: графики пересекаются в точках \((4-\sqrt{11};16-5\sqrt{11})\) и \((4+\sqrt{11};16+5\sqrt{11})\).