3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 9 см. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

1. Анализ условия: Дан прямоугольный треугольник. Один из острых углов равен 60°. Это значит, что второй острый угол равен 90° - 60° = 30°.
2. Свойства египетского треугольника: Треугольник с углами 30°, 60°, 90° является «египетским». В таком треугольнике:
   • Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
   • Катет, лежащий против угла 60°, равен произведению половины гипотенузы на \(\sqrt{3}\).
3. Обозначения: Пусть гипотенуза равна c. Тогда меньший катет (лежащий против угла 30°) равен c/2. Больший катет (лежащий против угла 60°) равен (c/2) * \(\sqrt{3}\).
4. Составление уравнения: По условию, разность гипотенузы и меньшего катета равна 9 см. То есть: c - (c/2) = 9.
5. Решение уравнения: Приведем к общему знаменателю: (2c - c) / 2 = 9. c / 2 = 9.
6. Вычисление гипотенузы: c = 9 * 2 = 18 см.

Ответ: 18 см.