5. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.

Решение:

1. Анализ условия: Дан треугольник. Два внешних угла относятся как 2:1. Внутренний угол, не смежный с этими внешними углами, равен 45°.
2. Свойства внешних углов треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним.
3. Обозначения: Пусть внешний угол равен α, а второй внешний угол равен β. По условию, α = 2β.
4. Связь внешнего и внутреннего углов: Внутренний угол, смежный с внешним углом α, равен 180° - α. Внутренний угол, смежный с внешним углом β, равен 180° - β.
5. Использование свойства внешнего угла: Пусть внутренние углы треугольника равны A, B, C. Пусть внешний угол при вершине A равен α. Тогда A = 180° - α. Пусть внешний угол при вершине B равен β. Тогда B = 180° - β.
6. Связь с данным внутренним углом: По условию, внутренний угол, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°. Это означает, что этот угол может быть либо углом C (если внешние углы при A и B), либо углом A (если внешний угол при B и C), либо углом B (если внешний угол при A и C).
7. Рассмотрим случай 1: Внешние углы при вершинах A и B. Тогда внутренний угол C = 45°. У нас есть:
   • Внешний угол при A: α
   • Внешний угол при B: β, где α = 2β.
   • Внутренний угол C = 45°.
8. Применение теоремы о внешнем угле: Внешний угол при вершине A равен сумме двух других внутренних углов: α = B + C. Внешний угол при вершине B равен сумме двух других внутренних углов: β = A + C.
9. Подстановка: Мы знаем, что C = 45°. Значит:
   • α = B + 45°
   • β = A + 45°
10. Использование соотношения α = 2β: B + 45° = 2 * (A + 45°). B + 45° = 2A + 90°. B = 2A + 45°.
11. Использование суммы углов треугольника: A + B + C = 180°. A + B + 45° = 180°. A + B = 135°.
12. Решение системы уравнений: Подставим B из первого уравнения во второе: A + (2A + 45°) = 135°. 3A + 45° = 135°. 3A = 135° - 45°. 3A = 90°. A = 30°.
13. Нахождение B: B = 135° - A = 135° - 30° = 105°.
14. Проверка: Если A = 30°, B = 105°, C = 45°. Сумма = 30° + 105° + 45° = 180°.
15. Вычисление внешних углов:
    • α = B + C = 105° + 45° = 150°.
    • β = A + C = 30° + 45° = 75°.
16. Проверка соотношения: α = 150°, β = 75°. 150° = 2 * 75°. Условие выполнено.
17. Нахождение разности: Разность между внешними углами: α - β = 150° - 75° = 75°.
18. Рассмотрим случай 2: Внутренний угол, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°. Пусть внешний угол при вершине A равен α, а внешний угол при вершине C равен γ. Тогда внутренний угол B = 45°. По условию, один внешний угол в два раза больше другого.
19. Подслучай 2.1: α = 2γ.
    • α = B + C = 45° + C
    • γ = A + B = A + 45°
20. Подслучай 2.2: γ = 2α.
    • γ = A + B = A + 45°
    • α = B + C = 45° + C
21. Простое решение: Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов. Пусть два внешних угла равны 2x и x. Пусть внутренний угол, не смежный с ними, равен 45°.
22. Связь углов: Внешний угол 1 = 2x. Внутренний угол, смежный с ним, = 180 - 2x. Внешний угол 2 = x. Внутренний угол, смежный с ним, = 180 - x.
23. Сумма углов треугольника: Сумма трех внутренних углов равна 180°. Один внутренний угол равен 45°. Значит, сумма двух других внутренних углов равна 180° - 45° = 135°.
24. Обозначения: Пусть внутренние углы, смежные с внешними углами 2x и x, равны A и B соответственно. Тогда A = 180 - 2x и B = 180 - x.
25. Случай 1: Внутренний угол 45° не смежен с внешними углами 2x и x. Тогда A + B = 180° - 45° = 135°.
    • (180° - 2x) + (180° - x) = 135°.
    • 360° - 3x = 135°.
    • 3x = 360° - 135° = 225°.
    • x = 225° / 3 = 75°.
26. Внешние углы: x = 75°, 2x = 150°.
27. Разность: 2x - x = x = 75°.
28. Случай 2: Внутренний угол 45° смежен с одним из внешних углов. Например, он смежен с углом 2x. Тогда внешний угол 2x = 45°. Но внешний угол не может быть равен внутреннему углу, который не является смежным.
29. Перечитываем условие: «внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°». Это означает, что внешний угол 1 = A + C, внешний угол 2 = B + C. А третий внутренний угол = 45°.
30. Пусть C = 45°. Внешний угол при A = B + C = B + 45°. Внешний угол при B = A + C = A + 45°.
31. Обозначим: α = B + 45°, β = A + 45°. Условие: α = 2β (или β = 2α).
32. Если α = 2β: B + 45° = 2(A + 45°). B + 45° = 2A + 90°. B = 2A + 45°.
33. Сумма углов: A + B + C = 180°. A + B + 45° = 180°. A + B = 135°.
34. Подставляем B: A + (2A + 45°) = 135°. 3A + 45° = 135°. 3A = 90°. A = 30°.
35. Находим B: B = 135° - 30° = 105°.
36. Находим внешние углы: α = 105° + 45° = 150°. β = 30° + 45° = 75°.
37. Проверка: 150° = 2 * 75°. Условие выполнено.
38. Разность: 150° - 75° = 75°.
39. Если β = 2α: A + 45° = 2(B + 45°). A + 45° = 2B + 90°. A = 2B + 45°.
40. Подставляем A: (2B + 45°) + B = 135°. 3B + 45° = 135°. 3B = 90°. B = 30°.
41. Находим A: A = 135° - 30° = 105°.
42. Находим внешние углы: α = 30° + 45° = 75°. β = 105° + 45° = 150°.
43. Проверка: 150° = 2 * 75°. Условие выполнено.
44. Разность: 150° - 75° = 75°.

Ответ: Разность между этими внешними углами равна 75°.