4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C= 90°) биссектрисы CD и ВЕ пересекаются в точке О. ∠BOC = 95°. Найдите острые углы треугольника АВС.

Решение:

1. Анализ условия: Дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°. CD — биссектриса угла C, ВЕ — биссектриса угла B. Биссектрисы пересекаются в точке О. Известно, что ∠BOC = 95°. Нужно найти острые углы треугольника ABC, то есть ∠A и ∠B.
2. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам. Так как CD — биссектриса ∠C, то ∠BCD = ∠ACD = 90°/2 = 45°.
3. Рассмотрение треугольника BOC: В треугольнике BOC известны углы: ∠BOC = 95°. Также ∠OBC — это часть угла B, и ∠OCB — это часть угла C.
4. Углы в треугольнике BOC: ∠OCB = ∠BCD = 45° (так как CD — биссектриса). Сумма углов в треугольнике BOC равна 180°. Следовательно, ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°.
5. Вычисление ∠OBC: ∠OBC + 45° + 95° = 180°. ∠OBC + 140° = 180°. ∠OBC = 180° - 140° = 40°.
6. Нахождение угла B: Угол OBC является частью угла B, и так как BE — биссектриса угла B, то ∠OBC = ∠ABE = ∠B / 2. Следовательно, ∠B = 2 * ∠OBC = 2 * 40° = 80°.
7. Нахождение угла A: В прямоугольном треугольнике ABC, сумма острых углов равна 90°. То есть, ∠A + ∠B = 90°. ∠A + 80° = 90°. ∠A = 90° - 80° = 10°.

Ответ: Острые углы треугольника ABC равны 80° и 10°.