3 Одно число на 7 меньше другого, а их произведение равно 120. Найдите эти числа.

Решение:

1. Обозначим одно число как $$x$$. Тогда другое число будет $$x+7$$.
2. Их произведение равно 120, поэтому составляем уравнение: \( x(x+7) = 120 \)
3. Раскроем скобки: \( x^2 + 7x = 120 \)
4. Перенесем все члены в одну сторону: \( x^2 + 7x - 120 = 0 \)
5. Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$. Здесь $$a=1$$, $$b=7$$, $$c=-120$$.
6. \[ D = 7^2 - 4(1)(-120) = 49 + 480 = 529 \]
7. Найдем корни уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
8. \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2(1)} = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
9. \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{529}}{2(1)} = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \]
10. Если $$x=8$$, то второе число $$8+7=15$$. Проверка: $$8 \times 15 = 120$$.
11. Если $$x=-15$$, то второе число $$-15+7=-8$$. Проверка: $$(-15) \times (-8) = 120$$.

Ответ: 8 и 15, или -15 и -8.