3. Определите момент импульса стержня массой m и длиной l, вращающегося с частотой ν вокруг оси OO′ (рисунок).

По рисунку ближайший конец стержня находится на расстоянии \(l/3\) от оси, а стержень направлен радиально. Поэтому расстояния точек стержня от оси меняются от \(l/3\) до \(4l/3\). Линейная плотность стержня равна \(m/l\).

Вычислим момент инерции относительно оси: \(I=\frac{m}{l}\int_{l/3}^{4l/3}r^2\,dr=\frac{m}{3l}\left[\left(\frac{4l}{3}\right)^3-\left(\frac{l}{3}\right)^3\right]=\frac{7}{9}ml^2\).

Угловая скорость связана с частотой соотношением \(\omega=2\pi\nu\). Момент импульса равен \(L=I\omega\), следовательно, \(L=\frac{7}{9}ml^2\cdot2\pi\nu=\frac{14\pi}{9}ml^2\nu\).

Ответ: \(L=\frac{14\pi}{9}ml^2\nu\).