3. Основания равнобедренной трапеции равны 8 см и 10 см, а его диагональ делит острый угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

Обозначим большую основу трапеции как \(AB=10\) см, меньшую — \(DC=8\) см. Опустим из концов меньшего основания перпендикуляры на большую основу. Из-за равнобедренности выступы по краям равны, каждый равен \((10-8):2=1\) см.

Пусть диагональ \(AC\) делит острый угол при вершине \(A\) пополам. Тогда в образовавшемся прямоугольном треугольнике горизонтальная проекция диагонали равна \(10-1=9\) см. Поскольку \(AC\) — биссектриса угла между основанием и боковой стороной, отношение её вертикальной составляющей к горизонтальной равно отношению вертикальной составляющей боковой стороны к её горизонтальной проекции, то есть \(h/9=h/1\)? Это неверно; используем условие равенства углов непосредственно: пусть боковая сторона имеет горизонтальную проекцию 1 и длину \(l\), а высота \(h\). Тогда \(\tan(\angle DAB/2)=h/(l+1)\), а для диагонали \(AC\), горизонтальная проекция которой 9, \(\tan(\angle DAC)=h/9\). Следовательно, \(h/9=h/(l+1)\), откуда \(l=8\) см.

Периметр: \(P=10+8+2\cdot8=34\) см.

Ответ: 34 см.