3. Площадь прямоугольного треугольника равна 18√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Катет, прилежащий к углу 60°, — это AC. Катет, противолежащий углу 60°, — это BC. Катет, прилежащий к углу 30°, — это AC. Катет, противолежащий углу 30°, — это BC.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\( S = \frac{1}{2} · AC · BC = 18√3 \)

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\( \tan A = \frac{BC}{AC} \)

\( \tan 60^{\circ} = √3 \)

Значит, \( BC = AC · √3 \).

Подставим это в формулу площади:

\( \frac{1}{2} · AC · (AC · √3) = 18√3 \)

\( \frac{1}{2} · AC^2 · √3 = 18√3 \)

Разделим обе части на \( √3 \):

\( \frac{1}{2} · AC^2 = 18 \)

\( AC^2 = 36 \)

\( AC = 6 \) (длина катета не может быть отрицательной).

Ответ: 6