3. Плоскость α проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD — точки M и N. А) Докажите, что AD ∥ α. Б) Найдите BC, если AD = 10 см, MN = 8 см.

А) Отрезок MN соединяет середины боковых сторон трапеции, поэтому является её средней линией: MN ∥ AD и MN ∥ BC. При этом MN лежит в плоскости α. Плоскость α пересекает плоскость трапеции по прямой MN. Так как AD параллельна MN и не совпадает с ней, AD не пересекает α. Следовательно, AD ∥ α.

Б) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

MN = (AD + BC) / 2.

Подставим данные: 8 = (10 + BC) / 2, откуда 16 = 10 + BC и BC = 6 см.

Ответ: BC = 6 см.