3. По прямолинейной автостраде движутся равномерно в противоположных направлениях автобус и мотоциклист. В начальный момент времени координаты автобуса и мотоциклиста соответственно равны 500 и −300 м, а скорости движения — 72 и 36 км/ч. Напишите уравнения движения x=x(t) автобуса и мотоциклиста. Определите их положение через 5 с. В какой момент времени и где они встретятся? Каким будет расстояние между ними через 1,5 мин после начала движения? Рассмотрите все возможные случаи.

Переведём скорости: \(72\text{ км/ч}=20\text{ м/с}\), \(36\text{ км/ч}=10\text{ м/с}\).

Случай 1: автобус движется в положительном направлении оси, мотоциклист — в отрицательном.

Уравнения движения:

\(x_1=500+20t\), \(x_2=-300-10t\).

Через 5 с:

\(x_1=500+20\cdot5=600\text{ м}\), \(x_2=-300-10\cdot5=-350\text{ м}\).

Уравнение встречи \(500+20t=-300-10t\) даёт \(t=-26{,}7\text{ с}\), то есть в рассматриваемом будущем они не встретятся.

Через 1,5 мин, то есть через 90 с, расстояние между ними:

\(d=x_1-x_2=(500+20\cdot90)-(-300-10\cdot90)=3500\text{ м}\).

Случай 2: автобус движется в отрицательном направлении оси, мотоциклист — в положительном.

Уравнения движения:

\(x_1=500-20t\), \(x_2=-300+10t\).

Через 5 с:

\(x_1=500-20\cdot5=400\text{ м}\), \(x_2=-300+10\cdot5=-250\text{ м}\).

Момент встречи:

\(500-20t=-300+10t\),

\(30t=800\),

\(t=26{,}7\text{ с}\).

Координата встречи:

\(x=500-20\cdot26{,}7\approx-33{,}3\text{ м}\).

Через 90 с:

\(x_1=500-20\cdot90=-1300\text{ м}\), \(x_2=-300+10\cdot90=600\text{ м}\).

Расстояние между ними: \(d=600-(-1300)=1900\text{ м}\).

Ответ: при движении навстречу друг другу встреча произойдёт через 26,7 с в точке \(x\approx-33,3\) м; через 5 с координаты равны 400 м и −250 м, через 1,5 мин расстояние равно 1900 м. При движении в противоположные стороны встреча в будущем не произойдёт; через 5 с координаты равны 600 м и −350 м, расстояние через 1,5 мин равно 3500 м.