3. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет…$ Фото задания

3. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

При $x\ne1$ функция упрощается: $y=-(x^2+0.25)=-x^2-\dfrac14$. График — парабола, направленная ветвями вниз, с выколотой точкой $(1,-1.25)$.

Число общих точек определяется корнями уравнения $-x^2-\dfrac14=kx$, то есть $x^2+kx+\dfrac14=0$, кроме недопустимого $x=1$.

При $k^2-1=0$ уравнение имеет один корень: это даёт $k=\pm1$. Полученные корни $x=-k/2$ не равны 1, поэтому обе величины подходят.
При $k=-\dfrac54$ корни равны $1$ и $\dfrac14$. Первый исключён из области определения, второй даёт ровно одну общую точку.
В остальных случаях имеется либо ноль, либо две допустимые общие точки.

Ответ: $k\in\left\{-\dfrac54,-1,1\right\}$.

3. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x-1)}{1-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: