3. Постройте график функции y = −x² − 2x + 8. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = −0,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежуток, на котором функция убывает; д) множество значений функции.

Приведём функцию к виду, удобному для построения: y = −(x + 1)² + 9. Это парабола с ветвями вниз и вершиной (−1; 9). Её нули: −4 и 2. По этим точкам и вершине построен график.

1. Подставим x = −0,5: y = −(−0,5)² − 2(−0,5) + 8 = −0,25 + 1 + 8 = 8,75.

2. Решим уравнение −x² − 2x + 8 = 3. Получаем x² + 2x − 5 = 0, поэтому x = −1 ± √6.

3. Нули функции находятся из уравнения −x² − 2x + 8 = 0: (x + 4)(x − 2) = 0. Значит, нули: −4 и 2. Парабола направлена ветвями вниз, поэтому функция положительна при −4 < x < 2 и отрицательна при x < −4 или x > 2.

4. Вершина находится при x = −1; после вершины функция убывает. Промежуток убывания: [−1; +∞).

5. Наибольшее значение функции равно 9, поэтому множество значений — (−∞; 9].

Ответ: а) 8,75; б) x = −1 ± √6; в) нули −4 и 2, положительна на (−4; 2), отрицательна на (−∞; −4) и (2; +∞); г) [−1; +∞); д) (−∞; 9].