№ 3. Постройте треугольник DEF, если D(-6; 1), E(3; −2), F(1; 3). Запишите координаты точек пересечения большей стороны этого треугольника с осями координат.

Решение:

Сначала построим треугольник DEF в системе координат.

Теперь найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

1. Длина стороны DE:

\( DE = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(3 + 6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9^2 + 9} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \)

2. Длина стороны EF:

\( EF = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{4 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \)

3. Длина стороны DF:

\( DF = \sqrt{(1 - (-6))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(1 + 6)^2 + 2^2} = \sqrt{7^2 + 4} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \)

Сравнивая длины сторон \( \sqrt{90} \), \( \sqrt{29} \), \( \sqrt{53} \), видим, что самая большая сторона — DE (\( \sqrt{90} \)).

Теперь найдем точки пересечения прямой DE с осями координат.

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), имеет вид: \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \).

Для точек D(-6; 1) и E(3; -2):

\( \frac{x - (-6)}{3 - (-6)} = \frac{y - 1}{-2 - 1} \)

\( \frac{x + 6}{9} = \frac{y - 1}{-3} \)

Умножим крест-накрест:

\( -3(x + 6) = 9(y - 1) \)

\( -3x - 18 = 9y - 9 \)

\( -3x - 9y = 18 - 9 \)

\( -3x - 9y = 9 \)

Разделим на -3:

\( x + 3y = -3 \)

Пересечение с осью Ox (y=0):

\( x + 3(0) = -3 \)

\( x = -3 \)

Точка пересечения с осью Ox: (-3; 0).

Пересечение с осью Oy (x=0):

\( 0 + 3y = -3 \)

\( 3y = -3 \)

\( y = -1 \)

Точка пересечения с осью Oy: (0; -1).

Ответ: Координаты точек пересечения большей стороны DE с осями координат: (-3; 0) и (0; -1).