3. Преобразуйте выражение: а) (1/4 x^-2y^-3)^-2; б) (5x^-1 / 3y^-2)^-2 ⋅ 15x³y.

Решение:

1. а) (1/4 x^-2y^-3)^-2
   • При возведении произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень:
   • (1/4)^-2 ⋅ (x^-2)^-2 ⋅ (y^-3)^-2
   • (1/4)^-2 = 4² = 16
   • (x^-2)^-2 = x^{-2 ⋅ -2} = x⁴
   • (y^-3)^-2 = y^{-3 ⋅ -2} = y⁶
   • Объединяем: 16x⁴y⁶
2. б) (5x^-1 / 3y^-2)^-2 ⋅ 15x³y
   • Сначала возведем дробь в степень -2:
   • (5x^-1)^-2 / (3y^-2)^-2
   • (5^-2x^-1⋅-2) / (3^-2y^-2⋅-2) = (1/25 x²) / (1/9 y⁴)
   • Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:
   • (1/25 x²) ⋅ (9 / y⁴) = 9x² / 25y⁴
   • Теперь умножим на 15x³y:
   • (9x² / 25y⁴) ⋅ 15x³y
   • Перемножим числители: 9 ⋅ 15 = 135. x² ⋅ x³ = x⁵
   • Перемножим знаменатели: 25 ⋅ y⁴ ⋅ y = 25y⁵
   • Получаем: 135x⁵ / 25y⁵
   • Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
   • 27x⁵ / 5y⁵

Ответ: а) 16x⁴y⁶; б) 27x⁵ / 5y⁵.