3. Преобразуйте выражение: a) (\(\frac{1}{6}x^{-4}y^{3}\))⁻¹; б) (\(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\))⁻² ⋅ 10a⁷b³.

Решение:

а) Используем свойства степеней (a/b)^-n = (b/a)ⁿ и (ab)ⁿ = aⁿbⁿ:

\[ \left( \frac{1}{6}x^{-4}y^{3} \right)^{-1} = \left( \frac{6}{1}x^{4}y^{-3} \right)^{1} = 6x^{4}y^{-3} = \frac{6x^{4}}{y^{3}} \]

б) Используем свойства степеней (a/b)^-n = (b/a)ⁿ, (a^m)ⁿ = a^m⋅n и a^m ⋅ aⁿ = a^m+n:

\[ \left( \frac{3a^{-4}}{2b^{-3}} \right)^{-2} \cdot 10a^{7}b^{3} = \left( \frac{2b^{-3}}{3a^{-4}} \right)^{2} \cdot 10a^{7}b^{3} \]

\[ = \frac{(2b^{-3})^{2}}{(3a^{-4})^{2}} \cdot 10a^{7}b^{3} = \frac{2^{2}(b^{-3})^{2}}{3^{2}(a^{-4})^{2}} \cdot 10a^{7}b^{3} = \frac{4b^{-6}}{9a^{-8}} \cdot 10a^{7}b^{3} \]

\[ = \frac{4b^{-6} \cdot 10a^{7}b^{3}}{9a^{-8}} = \frac{40a^{7}b^{-3}}{9a^{-8}} = \frac{40}{9}a^{7-(-8)}b^{-3} = \frac{40}{9}a^{15}b^{-3} = \frac{40a^{15}}{9b^{3}} \]

Ответ: а) $$\frac{6x^{4}}{y^{3}}$$; б) $$\frac{40a^{15}}{9b^{3}}$$