4. Вычислите $$\frac{2^{-6} \cdot 4^{-3}}{8^{-7}}$$.

Решение:

1. Приведем все числа к одному основанию. Основание 2 является наименьшим общим основанием для 2, 4 и 8.
2. $$4 = 2^2$$.
3. $$8 = 2^3$$.
4. Подставим эти значения в выражение:
5. $$\frac{2^{-6} \cdot (2^2)^{-3}}{(2^3)^{-7}}$$.
6. Возведем степени в степень:
   • $$(2^2)^{-3} = 2^{2 \cdot (-3)} = 2^{-6}$$.
   • $$(2^3)^{-7} = 2^{3 \cdot (-7)} = 2^{-21}$$.
7. Теперь выражение выглядит так: $$\frac{2^{-6} \cdot 2^{-6}}{2^{-21}}$$.
8. Перемножим степени в числителе:
9. $$2^{-6} \cdot 2^{-6} = 2^{-6+(-6)} = 2^{-12}$$.
10. Теперь выражение: $$\frac{2^{-12}}{2^{-21}}$$.
11. Разделим степени с одинаковым основанием:
12. $$2^{-12} : 2^{-21} = 2^{-12 - (-21)} = 2^{-12+21} = 2^9$$.
13. Вычислим $$2^9$$:
14. $$2^9 = 512$$.

Ответ: $$512$$.