3. Преобразуйте выражение: a) (\(\frac{1}{6}x^{-4}y^3\))⁻¹ ; б) (\(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\))⁻² \(\cdot\) 10a⁷b³.

Решение:

1. а) Используем свойства степеней \( (ab)^n = a^n b^n \) и \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):
   
   \( \left( \frac{1}{6}x^{-4}y^3 \right)^{-1} = \left( \frac{1}{6} \right)^{-1} \cdot (x^{-4})^{-1} \cdot (y^3)^{-1} \)
   
   \( = 6 \cdot x^{(-4) \cdot (-1)} \cdot y^{3 \cdot (-1)} \)
   
   \( = 6 \cdot x^4 \cdot y^{-3} = \frac{6x^4}{y^3} \)
2. б) Используем свойства степеней \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \), \( (a^m)^n = a^{mn} \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \), \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
   
   \( \left( \frac{3a^{-4}}{2b^{-3}} \right)^{-2} \cdot 10a^7b^3 = \frac{(3a^{-4})^{-2}}{(2b^{-3})^{-2}} \cdot 10a^7b^3 \)
   
   \( = \frac{3^{-2}(a^{-4})^{-2}}{2^{-2}(b^{-3})^{-2}} \cdot 10a^7b^3 \)
   
   \( = \frac{\frac{1}{9}a^8}{\frac{1}{4}b^6} \cdot 10a^7b^3 \)
   
   \( = \frac{1}{9}a^8 \cdot \frac{4}{b^6} \cdot 10a^7b^3 \)
   
   \( = \frac{40}{9} \u0020 \cdot \frac{a^8 \u0020 \cdot a^7 \u0020 \cdot b^3}{b^6} \)
   
   \( = \frac{40}{9} \u0020 \cdot \frac{a^{15} \u0020 \cdot b^3}{b^6} \)
   
   \( = \frac{40a^{15}}{9b^3} \)

Ответ: а) 6x4/y3; б) 40a15/9b3.