3. При каком значении a уравнение x³ − 3x² + ax − 2 = 0 имеет корень x = 2? Найдите остальные корни.

Подставим \(x=2\) в уравнение: \(8-12+2a-2=0\), откуда \(2a-6=0\) и \(a=3\).

Подставим найденное значение: \(x^3-3x^2+3x-2=0\). Деление на \(x-2\) даёт \(x^2-x+1=0\).

Дискриминант этого квадратного уравнения равен \(1-4=-3\), поэтому его корни комплексные: \(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\) и \(\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\). В действительных числах других корней нет.

Ответ: \(a=3\); остальные корни — \(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\) и \(\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\) (в действительных числах — нет).