3. Прямая a перпендикулярна плоскости (ABC). а) Пусть ABCD — ромб (рисунок 35), тогда доказать, что MO ⟂ BD; б) доказать по рисунку 36, что AB = AC; в) пусть ABCD — параллелограмм, тогда доказать, что ABCD — прямоугольник (рисунок 37); г) по рисунку 38 найти длину отрезка MB.

а) По рисунку M и C лежат на прямой a, перпендикулярной плоскости (ABC), а O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому AC ⟂ BD и, в частности, OC ⟂ BD. Также MC ⟂ (ABC), следовательно, MC ⟂ BD. Прямые OC и MC пересекаются и лежат в плоскости MOC. Поэтому BD ⟂ (MOC), откуда BD ⟂ MO.

б) и в) Условия этих доказательств зависят от обозначений и отметок на рисунках 36 и 37; на фотографии они недостаточно чёткие, чтобы достоверно установить все необходимые равенства и прямые углы. Пришлите, пожалуйста, более чёткий фрагмент с рисунками 36–37.

г) По рисунку MC ⟂ плоскости (ABC), значит, MC ⟂ BC и треугольник MCB прямоугольный при C. Угол BMC равен 30°, а MB = 17. В прямоугольном треугольнике катет BC, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: BC = 17/2. Из рисунка AC = 8; поскольку MC ⟂ плоскости, треугольник MAC прямоугольный при A. Однако этих данных недостаточно, чтобы найти MB заново: длина MB уже указана на рисунке как 17.

Ответ: г) MB = 17.