5. Из точек A и B, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если: а) AC = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м; б) AC = 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м.

Перпендикуляры AC и BD направлены в перпендикулярных плоскостях и перпендикулярны общей прямой CD. Поэтому разность высот точек A и B относительно этой прямой равна |AC − BD|, а расстояние между их проекциями равно CD. По теореме Пифагора:

\(AB^2 = CD^2 + (AC-BD)^2\).

а) \(AB^2 = 6^2 + (6-7)^2 = 36+1=37\), значит, \(AB=\sqrt{37}\) м.

б) \(AB^2 = 12^2 + (3-4)^2 = 144+1=145\), значит, \(AB=\sqrt{145}\) м.

Ответ: а) √37 м; б) √145 м.