4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой и плоскостью: а) ∠(AD₁, (DD₁C₁)); б) ∠(CC₁, (AB₁C₁)).

а) Проекция прямой AD₁ на плоскость (DD₁C₁) — отрезок DD₁. Треугольник ADD₁ прямоугольный и равнобедренный: AD = DD₁. Поэтому угол между AD₁ и DD₁ равен 45°.

б) Пусть ребро куба равно a. Плоскость (AB₁C₁) содержит векторы AB₁ = (a, 0, a) и B₁C₁ = (0, a, 0). Вектор прямой CC₁ вертикален, (0, 0, a). Нормаль к указанной плоскости пропорциональна (−1, 0, 1), поэтому угол между прямой и плоскостью равен 45°.

Ответ: а) 45°; б) 45°.