Ответ:

  1. Вопреки прогнозу, погода улучшилась. Обстоятельство с предлогом «вопреки» обособляется.
  2. Ребёнок шёл, улыбаясь. Деепричастие обособляется.
  3. Закончив работу, ученики сдали тетради. Деепричастный оборот стоит перед сказуемым и обособляется.
  4. Он говорил не останавливаясь. Одиночное деепричастие тесно связано со сказуемым и имеет значение образа действия, поэтому обычно не обособляется.