3. Разложите на множители: 1) a) \( \frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{1}{2}b^2 \); б) \( \frac{1}{9}a^3 + 3 \); 2) a) \( x^6 - y^6 \); б) \( y^5 - 2y^3 + y \); 3) a) \( x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + (x - 3) \); б) \( 1 - c^2 - 4c(1 - c^2) + 4c^2(1 - c^2) \); 4) a) \( a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2 \); б) \( a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2 \).

3. Разложение на множители:

1. а) \( \frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{1}{2}b^2 \)
   Выносим общий множитель \( \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2) \).
   Используем формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \( \frac{1}{2}(a-b)^2 \).
2. б) \( \frac{1}{9}a^3 + 3 \)
   Выносим общий множитель 3: \( 3(\frac{1}{27}a^3 + 1) \).
   Используем формулу суммы кубов \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) \), где \( x = \frac{1}{3}a \) и \( y = 1 \): \( 3(\frac{1}{3}a + 1)((\frac{1}{3}a)^2 - \frac{1}{3}a \cdot 1 + 1^2) \) = \( 3(\frac{1}{3}a + 1)(\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{3}a + 1) \).
3. а) \( x^6 - y^6 \)
   Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) \).
   Используем формулы разности и суммы кубов: \( (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2) \).
4. б) \( y^5 - 2y^3 + y \)
   Выносим общий множитель \( y \): \( y(y^4 - 2y^2 + 1) \).
   Используем формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где \( a = y^2 \) и \( b = 1 \): \( y(y^2 - 1)^2 \>.
   Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( y(y-1)^2(y+1)^2 \).
5. а) \( x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + (x - 3) \)
   Выносим общий множитель \( (x-3) \): \( (x-3)(x^2 - 2x + 1) \).
   Используем формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \( (x-3)(x-1)^2 \).
6. б) \( 1 - c^2 - 4c(1 - c^2) + 4c^2(1 - c^2) \)
   Выносим общий множитель \( (1 - c^2) \): \( (1 - c^2)(1 - 4c + 4c^2) \>.
   Используем формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где \( a = 1 \) и \( b = 2c \): \( (1 - c^2)(1 - 2c)^2 \>.
   Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( (1-c)(1+c)(1-2c)^2 \).
7. а) \( a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2 \)
   Это задание не имеет очевидного разложения на множители с использованием стандартных формул. Возможно, в условии опечатка.
8. б) \( a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2 \)
   Это задание не имеет очевидного разложения на множители с использованием стандартных формул. Возможно, в условии опечатка.

Ответ: 1а) \( \frac{1}{2}(a-b)^2 \); 1б) \( 3(\frac{1}{3}a + 1)(\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{3}a + 1) \); 2а) \( (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2) \); 2б) \( y(y-1)^2(y+1)^2 \); 3а) \( (x-3)(x-1)^2 \); 3б) \( (1-c)(1+c)(1-2c)^2 \); 4а) Нет очевидного решения; 4б) Нет очевидного решения.