3. Решать систему уравнений: а) { x + 2y = 1, x + y² = 4; } б) { x² + xy = 2, y − 3x = 7; } в) { x + y = 5, xy = 6; } г) { x − y = 7, x² − y² = 14; }

а) Из первого уравнения: \(x=1-2y\).

Подставим во второе: \(1-2y+y^2=4\), поэтому \(y^2-2y-3=0\). Отсюда \(y=3\) или \(y=-1\).

При \(y=3\): \(x=1-6=-5\). При \(y=-1\): \(x=1+2=3\).

Ответ: \((-5;3)\), \((3;-1)\).

б) Из второго уравнения: \(y=3x+7\). Тогда \(x^2+x(3x+7)=2\), то есть \(4x^2+7x-2=0\).

Корни: \(x=\frac14\) и \(x=-2\). Соответствующие значения \(y\): \(\frac{31}{4}\) и \(1\).

Ответ: \(\left(\frac14;\frac{31}{4}\right)\), \((-2;1)\).

в) Числа \(x\) и \(y\) имеют сумму 5 и произведение 6, поэтому являются корнями уравнения \(t^2-5t+6=0\).

\(t=2\) или \(t=3\).

Ответ: \((2;3)\), \((3;2)\).

г) Используем разность квадратов: \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Тогда \(7(x+y)=14\), откуда \(x+y=2\).

Решаем систему \(x-y=7\), \(x+y=2\): \(2x=9\), \(x=\frac92\), \(y=-\frac52\).

Ответ: \(\left(\frac92;-\frac52\right)\).