3). Решить систему уравнений (б)* с помощью определителя: а) {x−y=2, 3x−y=6}; б)* {2y−3x=4, 3y+3x=9}; в)** {x−2y+z=0, 2x+2y−z=3, 4x−y+z=5}.

а) По правилу Крамера для системы с матрицей коэффициентов \(\begin{pmatrix}1&-1\\3&-1\end{pmatrix}\):

\(\Delta=1\cdot(-1)-(-1)\cdot3=2\).

\(\Delta_x=2\cdot(-1)-(-1)\cdot6=4\), поэтому \(x=\Delta_x/\Delta=2\).

\(\Delta_y=1\cdot6-2\cdot3=0\), поэтому \(y=\Delta_y/\Delta=0\).

Ответ: (x; y) = (2; 0).

б) Запишем уравнения как −3x + 2y = 4 и 3x + 3y = 9. По правилу Крамера:

\(\Delta=(-3)\cdot3-2\cdot3=-15\).

\(\Delta_x=4\cdot3-2\cdot9=-6\), следовательно, \(x=\Delta_x/\Delta=2/5\).

\(\Delta_y=(-3)\cdot9-4\cdot3=-39\), следовательно, \(y=\Delta_y/\Delta=13/5\).

Ответ: (x; y) = (2/5; 13/5).

в) Матрица коэффициентов и определитель:

\(\Delta=\begin{vmatrix}1&-2&1\\2&2&-1\\4&-1&1\end{vmatrix}=15\).

Заменяя по очереди столбцы коэффициентов столбцом свободных членов, получаем \(\Delta_x=15\), \(\Delta_y=30\), \(\Delta_z=45\). Так как \(\Delta\ne0\), решение единственно:

\(x=\Delta_x/\Delta=1,\quad y=\Delta_y/\Delta=2,\quad z=\Delta_z/\Delta=3.\)

Ответ: (x; y; z) = (1; 2; 3).