№3 Решить ур-е: б) √x+7 = 1-x

Решение:

1. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Под корнем должно быть неотрицательное число: \( x + 7 \ge 0 \), то есть \( x \ge -7 \).
2. Также, правая часть уравнения (1 - x) должна быть неотрицательной, так как она равна корню: \( 1 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 1 \).
3. Объединив условия, получаем ОДЗ: \( -7 \le x \le 1 \).
4. Теперь возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (\sqrt{x+7})^2 = (1-x)^2 \)
5. \( x + 7 = 1 - 2x + x^2 \).
6. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 2x - x + 1 - 7 = 0 \)
7. \( x^2 - 3x - 6 = 0 \).
8. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-6) = 9 + 24 = 33 \).
9. Корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \).
10. Теперь проверим, попадают ли эти корни в нашу ОДЗ \( -7 \le x \le 1 \).
11. \( \sqrt{33} \) примерно равно 5,7.
12. \( x_1 = \frac{3 + 5,7}{2} = \frac{8,7}{2} = 4,35 \). Этот корень не входит в ОДЗ, так как \( 4,35 > 1 \).
13. \( x_2 = \frac{3 - 5,7}{2} = \frac{-2,7}{2} = -1,35 \). Этот корень входит в ОДЗ, так как \( -7 \le -1,35 \le 1 \).
14. Проверим найденный корень \( x = -1,35 \) подстановкой в исходное уравнение: \( \sqrt{-1,35+7} = \sqrt{5,65} \) и \( 1 - (-1,35) = 1 + 1,35 = 2,35 \). \( \sqrt{5,65} \approx 2,37 \), что близко к 2,35.

Ответ: \( \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \).