№5 Решить ур-е: log₃ (5-x) + log₃ (-1-x) = 3

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Оба аргумента логарифмов должны быть положительными:
2. \( 5 - x > 0 \implies x < 5 \)
3. \( -1 - x > 0 \implies -1 > x \implies x < -1 \)
4. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: \( x < -1 \).
5. Применим свойство суммы логарифмов \( \log_b x + \log_b y = \log_b(xy) \):
6. \( \log_3 ((5-x)(-1-x)) = 3 \).
7. Преобразуем выражение в скобках: \( (5-x)(-1-x) = -5 - 5x + x + x^2 = x^2 - 4x - 5 \).
8. Уравнение примет вид: \( \log_3 (x^2 - 4x - 5) = 3 \).
9. Переведём логарифмическое уравнение в показательное: \( x^2 - 4x - 5 = 3^3 \)
10. \( x^2 - 4x - 5 = 27 \).
11. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 4x - 5 - 27 = 0 \)
12. \( x^2 - 4x - 32 = 0 \).
13. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -32. Легко подобрать корни: 8 и -4.
14. \( x_1 = 8, x_2 = -4 \).
15. Теперь проверим, попадают ли корни в нашу ОДЗ \( x < -1 \).
16. Корень \( x_1 = 8 \) не удовлетворяет условию \( x < -1 \).
17. Корень \( x_2 = -4 \) удовлетворяет условию \( x < -1 \).

Ответ: -4.