3. Решить уравнение: 1) $2^{x+2}=8^{x-1}$; 2) $0,5^{x^2-3x+2}=1$; 3) $3^{x+2}-3^x=72$; 4) $9\cdot3^{2x}-10\cdot3^x+1=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решить уравнение: 1) $2^{x+2}=8^{x-1}$; 2) $0,5^{x^2-3x+2}=1$; 3) $3^{x+2}-3^x=72$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Представим правую часть как степень двойки: $8^{x-1}=(2^3)^{x-1}=2^{3x-3}$. При равных основаниях приравниваем показатели: $x+2=3x-3$, откуда $2x=5$, $x=\frac52$.
Так как основание $0,5\ne1$, равенство степени единице возможно только при показателе 0: $x^2-3x+2=0$. Разложим: $(x-1)(x-2)=0$. Следовательно, $x=1$ или $x=2$.
Вынесем $3^x$: $3^x(3^2-1)=72$, то есть $8\cdot3^x=72$. Тогда $3^x=9=3^2$, поэтому $x=2$.
Положим $t=3^x$, где $t>0$. Получаем $9t^2-10t+1=0$. Разложение: $(9t-1)(t-1)=0$, поэтому $t=\frac19$ или $t=1$. Из $3^x=3^{-2}$ получаем $x=-2$, а из $3^x=3^0$ — $x=0$.

Ответ: 1) $x=\frac52$; 2) $x=1,2$; 3) $x=2$; 4) $x=-2,0$.

3. Решить уравнение: 1) \(2^{x+2}=8^{x-1}\); 2) \(0,5^{x^2-3x+2}=1\); 3) \(3^{x+2}-3^x=72\); 4) \(9\cdot3^{2x}-10\cdot3^x+1=0\).