Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Решить уравнение: 1) \(3^{x+1}=27^{x-1}\); 2) \(0,2^{x^2+4x-5}=1\); 3) \(2^{x+3}-2^{x+1}=12\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Представим 27 как степень тройки:

    \(3^{x+1}=(3^3)^{x-1}=3^{3x-3}\).

    При равных основаниях приравниваем показатели: \(x+1=3x-3\), откуда \(2x=4\) и \(x=2\).

  2. Основание \(0,2\) положительно и не равно 1, поэтому степень равна 1 только при нулевом показателе:

    \(x^2+4x-5=0\), \((x+5)(x-1)=0\).

    Следовательно, \(x=-5\) или \(x=1\).

  3. Вынесем общую степень:

    \(2^{x+3}-2^{x+1}=2^{x+1}(2^2-1)=12\).

    Тогда \(3\cdot2^{x+1}=12\), поэтому \(2^{x+1}=4=2^2\), откуда \(x=1\).

  4. Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Получаем квадратное уравнение \(4t^2-5t+1=0\):

    \((4t-1)(t-1)=0\), поэтому \(t=\frac14\) или \(t=1\). Оба значения положительны и допустимы.

    Из \(2^x=\frac14=2^{-2}\) следует \(x=-2\); из \(2^x=1\) следует \(x=0\).

Ответ: 1) \(2\); 2) \(-5, 1\); 3) \(1\); 4) \(-2, 0\).